Conversion décimal → float IEEE 754

La norme IEEE 754 est le standard de représentation des nombres à virgule flottante dans tous les processeurs modernes. Convertir un nombre décimal vers cette représentation suit un protocole précis.

Format IEEE 754 simple précision (32 bits)

Valeur représentée : $(-1)^s \cdot 1.m \cdot 2^{e - 127}$.

• 1 bit de signe (s)
• 8 bits d'exposant biaisé (e, biais = 127)
• 23 bits de mantisse (m, implicite 1 devant)

Méthode de conversion

• 1. Déterminer le signe (0 positif, 1 négatif)
• 2. Convertir la partie entière en binaire
• 3. Convertir la partie fractionnaire en binaire (multiplications successives par 2)
• 4. Normaliser en écrivant sous la forme $1.xxx \cdot 2^n$
• 5. Calculer l'exposant biaisé : $n + 127$
• 6. La mantisse est $xxx$ complétée à 23 bits

Exemple : convertir 6.75

Signe : 0 (positif).

6 en binaire : 110. 0.75 en binaire : 0.11 (car $0.5 + 0.25$).

Donc 6.75 = 110.11 en binaire.

Normalisation : $1.1011 \cdot 2^2$.

Exposant biaisé : $2 + 127 = 129 = 10000001$.

Mantisse (partie après la virgule, 23 bits) : $10110000000000000000000$.

Résultat : 0 10000001 10110000000000000000000.

Particularités à connaître

• Zéro : $s = 0$ ou $1$, $e = 0$, $m = 0$ (deux zéros : +0 et -0)
• Infini : $e = 255$, $m = 0$
• NaN : $e = 255$, $m \neq 0$
• Nombres dénormalisés : $e = 0$, $m \neq 0$ (pour représenter des nombres très petits)

IEEE 754 double précision

La double précision (64 bits, type double en C/Java, float64 en NumPy) suit la même structure que la simple, mais avec des champs plus larges :

Précision : environ 15-17 chiffres décimaux significatifs. Plage : environ $\pm 10^{\pm 308}$.

• 1 bit de signe
• 11 bits d'exposant biaisé (biais = 1023)
• 52 bits de mantisse

Erreurs de représentation classiques

Certains nombres décimaux simples n'ont pas de représentation binaire finie, d'où des erreurs d'arrondi :

• $0{,}1$ → $0.000110011\overline{0011}\dots$ en binaire (périodique)
• $0{,}2$ → même problème
• $0{,}1 + 0{,}2 \neq 0{,}3$ en IEEE 754 (résultat : $0{,}30000000000000004$)
• $0{,}5$ → $0{,}1$ en binaire (exact, car $1/2$)
• $0{,}25$ → $0{,}01$ en binaire (exact)

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