DevLa factorielle de $n$, notée $n!$, est le produit de tous les entiers de 1 à $n$. C'est l'une des fonctions les plus fondamentales en combinatoire et en analyse.
Définition
Pour $n \in \mathbb{N}$ : $$n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$$
Par convention, $0! = 1$ (produit vide). Relation de récurrence : $n! = n \times (n-1)!$ pour $n \geq 1$.
Table des premières valeurs
- $0! = 1$
- $1! = 1$
- $2! = 2$
- $3! = 6$
- $4! = 24$
- $5! = 120$
- $6! = 720$
- $7! = 5\,040$
- $10! = 3\,628\,800$
- $20! = 2\,432\,902\,008\,176\,640\,000$
Approximation de Stirling
Pour $n$ grand : $$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
La formule de Stirling est remarquablement précise même pour des valeurs modestes. Pour $n = 10$ : Stirling donne $\approx 3\,598\,695$ contre la valeur exacte $3\,628\,800$, soit une erreur de 0.8\%.
Version logarithmique souvent plus utile : $\ln(n!) \approx n \ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)$.
Fonction Gamma
La factorielle se prolonge aux réels (et aux complexes) par la fonction Gamma d'Euler : $$\Gamma(n+1) = n! \quad \text{et} \quad \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$
Résultat remarquable : $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$, ce qui donne un sens à $(- \tfrac{1}{2})! = \sqrt{\pi}$.
À retenir
La factorielle croît plus vite que toute exponentielle : $n!$ domine $a^n$ pour tout $a > 0$. C'est crucial en complexité algorithmique : un algorithme en $O(n!)$ est inutilisable dès $n \approx 20$.
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