DevLa convention $0! = 1$ surprend souvent. Elle n'est pas arbitraire : elle est la seule valeur qui préserve la cohérence de la factorielle, du coefficient binomial et de la formule du produit vide.
La récurrence factorielle
La factorielle vérifie $n! = n \times (n-1)!$. Pour $n = 1$ : $1! = 1 \times 0!$, soit $1 = 1 \times 0!$. Donc $0! = 1$.
C'est l'argument le plus direct : la relation de récurrence impose la valeur.
Le produit vide
Par convention, un produit portant sur un ensemble vide d'indices vaut 1 (l'élément neutre de la multiplication), tout comme une somme vide vaut 0.
Or $n! = \prod_{k=1}^{n} k$. Quand $n = 0$, le produit porte sur aucun facteur : c'est un produit vide, qui vaut 1.
Cohérence du coefficient binomial
Le coefficient $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0! \cdot n!}$ doit valoir 1 (il n'y a qu'une seule façon de ne choisir aucun élément). Cela impose $0! = 1$.
De même $\binom{n}{n} = \frac{n!}{n! \cdot 0!} = 1$ exige la même convention.
Argument de dénombrement
Il existe exactement une permutation de l'ensemble vide : la permutation vide (la suite de longueur 0). Donc le nombre de permutations de 0 éléments vaut 1.
On retrouve la formule $P_0 = 0! = 1$.
À retenir
Retenir : 0! = 1 n'est pas une convention « pour que les formules marchent » — c'est la seule valeur logiquement cohérente.
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