DevLe coefficient binomial, noté $\binom{n}{k}$ ou $C_n^k$, compte le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre. C'est l'une des quantités les plus utilisées en combinatoire et en probabilités.
Définition
Le coefficient binomial se définit par la formule : $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ pour $0 \le k \le n$, avec la convention $0! = 1$.
Combinatoirement : $\binom{n}{k}$ est le nombre de sous-ensembles à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Par exemple, $\binom{5}{2} = 10$ car on peut choisir 10 paires distinctes dans un ensemble de 5 éléments.
Propriétés essentielles
- Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
- Valeurs aux bornes : $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
- Relation de Pascal : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ — fondamentale
- Somme d'une ligne : $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$
- Formule du binôme de Newton : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
Démonstration combinatoire de Pascal
La relation de Pascal $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ se démontre très intuitivement.
Fixons un élément $a$ dans un ensemble $E$ à $n$ éléments. Pour choisir un sous-ensemble à $k$ éléments de $E$, deux cas disjoints : soit il contient $a$ (et il reste à choisir $k-1$ éléments parmi les $n-1$ restants, soit $\binom{n-1}{k-1}$ possibilités), soit il ne contient pas $a$ (alors on choisit $k$ éléments parmi les $n-1$ restants, soit $\binom{n-1}{k}$ possibilités).
La somme de ces deux cas donne $\binom{n}{k}$.
Exemples d'application
Exemple 1 — Combien de mains de 5 cartes au poker ? $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$.
Exemple 2 — Le triangle de Pascal se construit ligne par ligne à l'aide de la relation de Pascal : chaque coefficient est la somme des deux coefficients juste au-dessus.
Exemple 3 — Probabilité de $k$ succès en $n$ lancers de pièce équilibrée : $P = \binom{n}{k} / 2^n$.
À retenir
Le coefficient binomial est la brique fondamentale du dénombrement discret. Maîtriser la relation de Pascal et la symétrie suffit pour démontrer la plupart des identités classiques par récurrence.
Le triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est la représentation la plus visuelle du coefficient binomial. Chaque ligne $n$ contient les $n+1$ coefficients $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$. Les premières lignes sont : 1 ; 1,1 ; 1,2,1 ; 1,3,3,1 ; 1,4,6,4,1 ; 1,5,10,10,5,1.
La règle de construction est la relation de Pascal : chaque coefficient intérieur est la somme des deux qui le surplombent. Les extrémités valent toujours 1.
Propriété remarquable : la somme d'une ligne $n$ vaut $2^n$. Les termes alternés d'une ligne se somment à zéro. On retrouve les nombres de Fibonacci en additionnant certaines diagonales.
Complexité de calcul et code
Pour calculer $\binom{n}{k}$ numériquement, la formule brute $n!/(k!(n-k)!)$ explose vite à cause des factoriels. Une implémentation robuste calcule itérativement :
$$\binom{n}{k} = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-i+1}{i}$$
En Python : binom = 1; for i in range(1, k+1): binom = binom * (n - i + 1) // i. La division entière intermédiaire reste exacte car chaque produit partiel est divisible par $i$.
Applications en probabilités
Le coefficient binomial est le cœur de la loi binomiale. Si $X$ suit $\mathcal{B}(n, p)$, alors $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Exemple : probabilité de tirer exactement 3 « pile » sur 10 lancers d'une pièce équilibrée : $\binom{10}{3} (1/2)^{10} = 120/1024 \approx 0{,}117$.
Le coefficient apparaît aussi dans la loi hypergéométrique, la formule du binôme négatif et de nombreuses autres distributions discrètes.
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