DevLa méthode DI (parfois appelée « intégration tabulaire » ou « méthode du tableau ») est un raccourci visuel et efficace pour effectuer plusieurs intégrations par parties successives. Particulièrement utile quand un polynôme multiplie une fonction facile à intégrer (exponentielle, sinus, cosinus).
Principe
On construit un tableau à deux colonnes. Colonne gauche (« D » pour Dériver) : on dérive successivement jusqu'à 0. Colonne droite (« I » pour Intégrer) : on intègre à chaque étape.
Puis on somme les produits en diagonale avec des signes alternés : + , − , + , −, etc.
Exemple : ∫ x² e^x dx
Tableau D | I : $(x^2, e^x), (2x, e^x), (2, e^x), (0, e^x)$.
Signes alternés sur les produits croisés : $+ x^2 \cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2 \cdot e^x$.
Résultat : $\int x^2 e^x dx = (x^2 - 2x + 2) e^x + C$.
Exemple : ∫ x cos(x) dx
Tableau : $(x, \cos x), (1, \sin x), (0, -\cos x)$.
Résultat : $+ x \sin x - 1 \cdot (-\cos x) = x \sin x + \cos x + C$.
Limites
La méthode DI ne marche bien que si l'une des fonctions se dérive jusqu'à 0 (polynômes). Pour $\int e^x \sin x dx$ ou $\int \ln x \cdot x dx$, il faut recourir à l'IPP classique ou à d'autres astuces.
À retenir
Gain de temps et moins d'erreurs d'écriture quand on doit itérer l'IPP 3 ou 4 fois. Un outil à connaître pour les calculs en physique ou en probabilités.
Démonstration de la méthode
La méthode DI est une IPP (intégration par parties) appliquée récursivement. Partons de $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$.
Si on applique l'IPP une seconde fois sur $\int u' v dx$, on obtient $\int u v' dx = uv - u'V + \int u'' V dx$, où $V = \int v dx$ (notation abusive pour une primitive).
Itérativement : $\int u v' dx = uv - u'V_1 + u''V_2 - u'''V_3 + \dots$, où $V_i$ est la $i$-ième primitive de $v'$. Si $u$ est polynomial, la suite $u, u', u'', \dots$ finit par atteindre 0 : la somme est finie. C'est exactement la méthode DI.
Cas d'échec : quand la DI ne fonctionne pas
La méthode DI ne convient pas si aucune des fonctions ne se dérive jusqu'à 0. Quelques exemples d'échec :
- $\int e^x \sin x \, dx$ : ni $e^x$, ni $\sin x$ ne dérivent à 0. Il faut faire 2 IPP successives puis résoudre un système.
- $\int \ln x \cdot x \, dx$ : $\ln x$ ne dérive pas à 0. Une seule IPP suffit mais le tableau ne s'applique pas.
- $\int x \cdot \tan x \, dx$ : tangente ne s'intègre pas simplement. La méthode DI est inapplicable.
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