Union de deux ensembles : définition et propriétés

L'union $A \cup B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ (ou aux deux). C'est l'une des opérations fondamentales de la théorie des ensembles.

Définition formelle

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. L'union est définie par : $$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$$

Le « ou » est inclusif : un élément peut appartenir aux deux ensembles simultanément.

Propriétés algébriques

• Commutativité : $A \cup B = B \cup A$
• Associativité : $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
• Idempotence : $A \cup A = A$
• Élément neutre : $A \cup \varnothing = A$
• Absorption : $A \cup (A \cap B) = A$
• Distributivité : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
• Loi de De Morgan : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

Formule du cardinal

Pour des ensembles finis : $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

C'est le principe d'inclusion-exclusion à deux ensembles. On soustrait l'intersection pour ne pas compter les éléments communs deux fois.

Généralisation à trois ensembles : $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$.

Exemples

Si $A = \{1,2,3\}$ et $B = \{2,3,4,5\}$ : $A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$ et $|A \cup B| = 3+4-2 = 5$.

$\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+$ est une union disjointe classique.

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