DevArrangements, permutations et combinaisons sont les trois notions fondamentales du dénombrement. Leur confusion est la première source d'erreurs en probabilités. Cette fiche les distingue nettement avec formules et exemples.
Permutation de n éléments
Une permutation de $n$ éléments distincts est une façon de les ranger en ligne. L'ordre compte, tous les éléments sont utilisés.
Nombre de permutations : $P_n = n!$ (factorielle de $n$).
Exemple : les permutations de {A,B,C} sont ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — soit 6 = 3! possibilités.
Arrangement de k parmi n
Un arrangement de $k$ éléments parmi $n$ est une liste ordonnée de $k$ éléments distincts choisis parmi $n$. L'ordre compte, on n'utilise pas tous les éléments.
Nombre : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)$.
Exemple : combien de podiums possibles dans une course de 10 coureurs ? $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Combinaison de k parmi n
Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble de taille $k$, sans ordre. L'ordre ne compte pas.
Nombre : $\binom{n}{k} = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$.
Exemple : combien de tirages possibles de 5 cartes dans un jeu de 52 ? $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$.
Règle mnémotechnique
**L'ordre compte ?** Si oui → arrangement/permutation. Si non → combinaison.
**Tous les éléments ?** Si oui → permutation. Si non → arrangement (k parmi n).
À retenir
Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ relie arrangement et combinaison : on divise l'arrangement par $k!$ pour « effacer » l'ordre, car une combinaison donne lieu à $k!$ arrangements différents.
Avec ou sans répétition ?
Les notions précédentes concernent les éléments distincts sans répétition. Avec répétition, les formules changent :
- Arrangements avec répétition : $k$-uplets d'éléments pris dans un ensemble de taille $n$, avec répétition possible. Il y en a $n^k$. Exemple : combien de codes PIN à 4 chiffres ? $10^4 = 10000$.
- Permutations avec répétition (anagrammes) : permutations d'éléments non tous distincts. Pour « MISSISSIPPI » (4 S, 4 I, 2 P, 1 M) : $\frac{11!}{4! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 1!} = 34650$.
- Combinaisons avec répétition : choisir $k$ éléments parmi $n$ avec répétition. Il y en a $\binom{n+k-1}{k}$. Exemple : composer un kilo de bonbons avec 5 variétés : $\binom{5+10-1}{10}$ si le kilo fait 10 × 100g de chacune.
Tableau récapitulatif
Quatre situations, quatre formules :
- Ordre compte + sans répétition → arrangement $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
- Ordre compte + avec répétition → $n^k$
- Ordre ne compte pas + sans répétition → combinaison $\binom{n}{k}$
- Ordre ne compte pas + avec répétition → $\binom{n+k-1}{k}$
À retenir
La question clé à se poser : l'ordre compte-t-il ? La répétition est-elle permise ? Ces deux questions déterminent à elles seules la formule à utiliser.
Applications en probabilités
Les arrangements et combinaisons sont les briques du calcul de probabilités sur ensembles finis. La probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de configurations favorables et le nombre total de configurations.
Exemple classique : au loto français (5 numéros parmi 49 + 1 chance parmi 10), probabilité du gros lot = $1 / (\binom{49}{5} \times 10) \approx 1/19\,068\,840$.
Une question ou une suggestion ? Écrivez-nous.