Identité cos²x + sin²x = 1 : démonstration

L'identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ est la relation fondamentale de la trigonométrie. Elle se démontre élégamment de plusieurs façons.

Démonstration géométrique (cercle trigonométrique)

Plaçons-nous dans le plan muni d'un repère orthonormé. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Un point $M$ sur ce cercle, associé à l'angle $x$, a pour coordonnées $(\cos x, \sin x)$ par définition.

Comme $M$ est sur le cercle de rayon 1, la distance $OM$ vaut 1. Par le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de cathètes $|\cos x|$ et $|\sin x|$ et d'hypoténuse 1 : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. ∎

Démonstration analytique

Soit $f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x$. Dérivons : $f'(x) = -2 \cos x \sin x + 2 \sin x \cos x = 0$.

$f$ est donc constante sur $\mathbb{R}$. Or $f(0) = 1 + 0 = 1$. Donc $f(x) = 1$ pour tout $x$. ∎

Conséquences utiles

• $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ et $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ — utilisé partout en simplification.
• $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ (en divisant l'identité par $\cos^2 x$) — utile en intégration.
• Les formules de linéarisation $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ et $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ en découlent.

Applications en intégration

L'identité pythagoricienne permet de simplifier de nombreuses intégrales trigonométriques.

Exemple : $\int \cos^2 x \, dx$. On utilise $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, qui découle directement de l'identité combinée à la formule d'addition : $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. D'où $\int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.

De même, $\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.

Le cercle unité et les fonctions hyperboliques

Le cercle unité, lieu des points vérifiant $x^2 + y^2 = 1$, se paramétrise par $(\cos t, \sin t)$. C'est la définition même des fonctions trigonométriques.

Par analogie, l'hyperbole unité $x^2 - y^2 = 1$ se paramétrise par $(\cosh t, \sinh t)$, d'où l'identité hyperbolique $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$. Noter le signe moins, qui reflète l'équation de l'hyperbole (pas du cercle).

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