Produit cartésien : définition et propriétés

Le produit cartésien est l'opération fondamentale qui construit des ensembles de couples (puis de triplets, quadruplets…) à partir d'ensembles initiaux. C'est la base de la notion de fonction à plusieurs variables, des coordonnées dans le plan, et de la théorie des relations.

Définition

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. Le produit cartésien de $A$ par $B$, noté $A \times B$, est l'ensemble des couples $(a, b)$ où $a \in A$ et $b \in B$.

Formellement : $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$.

Attention : l'ordre compte dans les couples. $(a, b) \neq (b, a)$ en général.

Cardinal

Si $A$ et $B$ sont finis, alors : $|A \times B| = |A| \cdot |B|$.

Exemple : si $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{a, b\}$, alors $|A \times B| = 3 \times 2 = 6$ et $A \times B = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)\}$.

Généralisation

Pour $n$ ensembles, on définit : $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i\}$.

Cas particulier : $A^n = A \times A \times \cdots \times A$ ($n$ fois). Exemple : $\mathbb{R}^3$ est l'ensemble des triplets $(x, y, z)$ de réels, qu'on identifie géométriquement à l'espace.

Propriétés usuelles

• $A \times \emptyset = \emptyset$
• Non commutatif : $A \times B \neq B \times A$ en général
• Non associatif au sens strict : $(A \times B) \times C$ est formellement distinct de $A \times B \times C$ (on écrit des paires vs des triplets)
• Distribution : $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$

Produit cartésien et fonctions

Formellement, une fonction $f : A \to B$ est un sous-ensemble particulier de $A \times B$ : celui des couples $(a, f(a))$. Cette vision ensembliste permet de définir rigoureusement les fonctions sans recourir à des notions intuitives.

Plus généralement, une relation binaire entre $A$ et $B$ est n'importe quel sous-ensemble de $A \times B$. Les relations d'ordre, d'équivalence, les graphes sont tous des relations.

En programmation : produit itertools

En Python, le module itertools fournit itertools.product pour énumérer un produit cartésien :

from itertools import product

list(product([1, 2, 3], ['a', 'b']))

# [(1, 'a'), (1, 'b'), (2, 'a'), (2, 'b'), (3, 'a'), (3, 'b')]

Pratique pour générer toutes les combinaisons de paramètres dans un grid search, ou tous les états possibles d'un petit système.

Cardinal du produit cartésien infini

Pour des ensembles infinis, le cardinal du produit cartésien devient plus subtil.

$|\mathbb{N}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = \aleph_0$ (dénombrable). La bijection canonique : $(a, b) \mapsto \frac{(a+b)(a+b+1)}{2} + a$.

$|\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^n|$ pour tout $n \ge 1$ — résultat non trivial, démontré par Cantor. L'intuition géométrique (la dimension) ne reflète pas le cardinal.

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