DevL'intégrale $\int x^i\,dx$ est un exercice sur les puissances complexes. Le calcul s'appuie sur la réécriture $x^i = e^{i\ln x}$.
Réécriture exponentielle
Pour $x > 0$ : $x^i = e^{i \ln x}$. C'est la définition de la puissance complexe.
On obtient : $x^i = \cos(\ln x) + i\sin(\ln x)$, un nombre complexe de module 1 dont l'argument est $\ln x$.
Calcul de la primitive
On applique la formule $\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ qui reste valide pour $\alpha \in \mathbb{C}$, $\alpha \neq -1$ :
$$\int x^i\,dx = \frac{x^{i+1}}{i+1} + C = \frac{x^{i+1}}{1+i} + C$$
En rationalisant : $\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{2}$, donc : $$\int x^i\,dx = \frac{(1-i)}{2}\,x^{1+i} + C$$
Forme trigonométrique du résultat
En développant $x^{1+i} = x \cdot x^i = x(\cos(\ln x) + i\sin(\ln x))$ :
$$\int x^i\,dx = \frac{x}{2}\Big[(\cos(\ln x) + \sin(\ln x)) + i(\sin(\ln x) - \cos(\ln x))\Big] + C$$
Remarque sur le cas α = -1
Attention : si $\alpha = -1$ (ce qui n'est pas le cas ici, puisque $i \neq -1$), la formule ne s'applique pas et on obtient $\int x^{-1}dx = \ln|x| + C$.
Pour $\alpha = -1 + i$ par exemple, la formule reste valide : $\int x^{-1+i}dx = \frac{x^i}{i} + C$.
À retenir
La formule $\int x^\alpha dx = x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$ est universelle pour $\alpha \neq -1$, y compris pour $\alpha$ complexe. C'est une conséquence directe de $\frac{d}{dx}x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1}$.
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