DevEn mathématiques, les termes « fonction » et « application » sont parfois utilisés indifféremment, mais ils ont des nuances précises. Les confondre peut causer des erreurs dans la définition d'un ensemble de départ ou dans la recherche du domaine de définition.
Application : la définition stricte
Une application $f : E \to F$ associe à tout élément $x$ de $E$ un unique élément $f(x)$ de $F$. Tous les éléments de $E$ ont une image.
Exemple : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$ est une application (tous les réels ont une image).
Fonction : plus permissive
Une fonction peut être vue comme une « application partielle » : elle est définie sur un sous-ensemble $D \subset E$ (le domaine de définition).
Exemple : $f(x) = 1/x$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, mais pas une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (pas définie en 0). En revanche, c'est une application de $\mathbb{R}^*$ dans $\mathbb{R}$.
En pratique
Dans l'enseignement français, on utilise souvent « fonction » au sens général. Quand on précise l'ensemble de départ et d'arrivée et que tous les éléments du départ ont une image, c'est une application.
Dans la théorie des ensembles formelle, on parle quasiment exclusivement d'applications.
À retenir
Pour éviter toute ambiguïté : préciser toujours l'ensemble de départ et le domaine de définition. Ce qui distingue fonction d'application est bien ce domaine — si le domaine = tout l'ensemble de départ, c'est une application.
Notions liées : surjectivité, injectivité, bijectivité
Une application $f : E \to F$ peut être :
Exemple : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$ n'est ni injective (car $f(-2) = f(2)$) ni surjective (car $-1$ n'est pas atteint). Restreinte à $\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$, elle devient bijective.
- Injective : $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. Aucune valeur n'est atteinte deux fois.
- Surjective : pour tout $y \in F$, il existe $x \in E$ tel que $f(x) = y$. Toutes les valeurs sont atteintes.
- Bijective : à la fois injective et surjective. Équivaut à dire que $f$ est inversible.
Image et antécédents
Pour une application $f : E \to F$ et $A \subset E$, $B \subset F$ :
Image de $A$ : $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\} \subset F$.
Image réciproque de $B$ : $f^{-1}(B) = \{x \in E \mid f(x) \in B\} \subset E$.
$f(E)$ est l'image de $f$. $f$ est surjective ssi $f(E) = F$.
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