DevLa fonction indicatrice d'un ensemble $A$, notée $\mathbf{1}_A$ ou $\mathbb{1}_A$ ou $\chi_A$, vaut 1 si $x \in A$, 0 sinon. Plusieurs notations coexistent en LaTeX.
Notations usuelles
\mathbf{1}→ $\mathbf{1}$ (gras classique)\mathbb{1}→ $\mathbb{1}$ (ajourée — nécessite packagedsfontoubbm)\chi→ $\chi$ (khi minuscule, notation classique en maths)\mathds{1}→ $\mathds{1}$ (avec\usepackage{dsfont})
Recommandation pratique
Pour un rendu propre et robuste : \usepackage{dsfont} puis \mathds{1}_A.
Pour les probabilités, certains préfèrent \mathbb{1}_A avec le package bbm. Pour l'analyse, \chi_A reste la notation historique.
Exemples d'utilisation
Loi d'une variable : $P(X \in A) = E[\mathds{1}_A(X)]$.
Intégrale : $\int f \cdot \mathds{1}_A \, d\mu = \int_A f \, d\mu$.
Propriétés algébriques utiles
La fonction indicatrice possède des propriétés qui permettent de manipuler des calculs ensemblistes par arithmétique :
Ces identités permettent de transformer des preuves ensemblistes en calculs algébriques, très utiles en théorie de la mesure et en probabilités.
- $\mathbb{1}_{A \cap B} = \mathbb{1}_A \cdot \mathbb{1}_B$
- $\mathbb{1}_{A \cup B} = \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B - \mathbb{1}_{A \cap B}$
- $\mathbb{1}_{A^c} = 1 - \mathbb{1}_A$
- $\mathbb{1}_A + \mathbb{1}_{A^c} = 1$
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