Racine carrée de i : calcul et interprétation géométrique

Le nombre $i$ admet deux racines carrées dans $\mathbb{C}$. Leur calcul est un exercice classique sur les nombres complexes.

Méthode algébrique

On cherche $z = a + bi$ tel que $z^2 = i$, soit $(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = i$.

Identification partie réelle et imaginaire : $a^2 - b^2 = 0$ et $2ab = 1$.

De $a^2 = b^2$ on tire $a = \pm b$. Comme $2ab = 1 > 0$, $a$ et $b$ sont de même signe, donc $a = b$.

Alors $2a^2 = 1$, soit $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Les deux racines sont : $$\sqrt{i} = \pm\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$$

Méthode exponentielle

On écrit $i = e^{i\pi/2}$. Donc $\sqrt{i} = e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

La seconde racine est $e^{i(\pi/4 + \pi)} = e^{i5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

Vérification

Vérifions : $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{(1+i)^2}{2} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$. $\checkmark$

Interprétation géométrique

Dans le plan complexe, $i$ est au point $(0,1)$, d'argument $\pi/2$. Prendre la racine carrée divise l'argument par 2 et prend la racine du module.

Le module de $i$ est 1, donc le module de $\sqrt{i}$ est aussi 1. L'argument passe de $\pi/2$ à $\pi/4$ : c'est le point sur le cercle unité à 45°.

Géométriquement, $\sqrt{i}$ est la rotation de 45° dans le plan complexe.

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