DevOn veut démontrer que le dernier chiffre en base 10 de $6^n$ est toujours 6, pour $n \ge 1$. C'est une illustration simple et parlante du raisonnement par récurrence.
Formalisation
« Se terminer par 6 » signifie : le chiffre des unités est 6, c'est-à-dire $6^n \equiv 6 \pmod{10}$.
On veut donc démontrer : $\forall n \ge 1, \; 6^n \equiv 6 \pmod{10}$.
Démonstration par récurrence
Initialisation ($n = 1$) : $6^1 = 6$, le dernier chiffre est 6. ✓
Hérédité : supposons que $6^n \equiv 6 \pmod{10}$ pour un certain $n \ge 1$. Alors : $6^{n+1} = 6 \cdot 6^n \equiv 6 \cdot 6 \pmod{10} \equiv 36 \pmod{10} \equiv 6 \pmod{10}$.
On a bien $6^{n+1} \equiv 6 \pmod{10}$. ∎
Généralisation
La même propriété se démontre pour 5 ($5^n$ finit toujours par 5) et pour 1. Mais pas pour les autres chiffres : $2^n$ cycle par 2, 4, 8, 6 ; $3^n$ cycle par 3, 9, 7, 1 ; etc.
De manière plus générale, le dernier chiffre de $a^n$ suit un cycle de longueur au plus 4 (pour $a$ non multiple de 10).
À retenir
C'est un classique des exercices d'arithmétique modulaire. La récurrence sur l'exposant est la méthode standard pour ce type de question.
Vision algébrique : arithmétique modulaire
L'arithmétique modulaire rend la démonstration immédiate. L'identité $6^{n+1} \equiv 6 \pmod{10}$ découle de $6 \cdot 6 \equiv 36 \equiv 6 \pmod{10}$ : une fois établi que 6 est un « point fixe » de la multiplication par 6 modulo 10, toute puissance de 6 hérite de cette propriété.
Cette idée se généralise. Un entier $a$ tel que $a^2 \equiv a \pmod{n}$ est appelé idempotent modulo $n$. Modulo 10, les idempotents sont 0, 1, 5 et 6. Pour chacun, $a^k$ finit toujours par le même chiffre.
Cycles des derniers chiffres
Pour les autres chiffres, le dernier chiffre de $a^n$ suit un cycle de période au plus 4. Les cycles :
- 2 : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6… (période 4)
- 3 : 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… (période 4)
- 4 : 4, 6, 4, 6… (période 2)
- 7 : 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1… (période 4)
- 8 : 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6… (période 4)
- 9 : 9, 1, 9, 1… (période 2)
À retenir
Ces cycles se démontrent en arithmétique modulaire par l'ordre multiplicatif de $a$ modulo 10. C'est une belle introduction au petit théorème de Fermat ($a^{\varphi(10)} = a^4 \equiv 1 \pmod{10}$ pour $\gcd(a, 10) = 1$).
Une question ou une suggestion ? Écrivez-nous.